العلاقة والاقتران
تمثيل العلاقة بالأزواج المرتبة :
مثل 1: لدينا المجموعة الاولى : مجموعة الطلبة ولتكن :
أ = { أحمد , خليل , سعيد , علي , يوسف , ماهر }.
ولدينا المجموعة الثانية : مجموعة المشروبات ولتكن :
ب ={حليب, شاي , ليمون , زهورات , برتقال , ماء الورد }.
إذا كوَّنتَ مجموعة من الأزواج المرتبة التي عنصرها الأول أحد الطلبة المنتمين إلى المجموعة أ , وعنصرها الثاني أحد المشروبات المنتمية إلى المجموعة ب , فإنك تحصل على مجموعة جديدة هي :
ع ={ (أحمد ,حليب) , (خليل,شاي) , (سعيد, ليمون) , (علي,زهورات) , (يوسف, برتقال) ,
( ماهر , ماء الورد ) } .
نُسمى مجموعة الأزواج التي نتجت من ربط عناصر المجموعة أ بعناصر المجموعة ب :
علاقة من المجموعة أ إلى المجموعة ب ونرمز لها بالرمز ع
كما نُسمي المجموعة أ مجال العلاقة ع . ونُسمي المجموعة ب مدى العلاقة ع .
نُسمى مجموعة كل العناصر الأولى للأزواج المرتبة في العلاقة مجال تلك العلاقة .
ونُسمى مجموعة كل العناصر الثانية للأزواج المرتبة في العلاقة مدى تلك العلاقة .
نُسمى العنصر الثاني في كل زوج مرتب ينتمي إلى العلاقة ع صورة للعنصر الأول في ذلك الزوج . فمثلاً في الزوج المرتب ( أحمد , حليب ) يكون الحليب صورة لأحمد لأن أحمد ارتبط مع الحليب في العلاقة ع .
تمثيل العلاقة بالأزواج المرتبة :
تعريف :
العلاقة هي خاصية تربط بين شيئين , ورياضياً فإن العلاقة هي أي مجموعة من الأزواج المرتبة.
مثل 2 : لتكن س = { 1 , 2 , 3 , 4 }
ص = { 3 , 4 , 5 , 6 }
نستطيع تكوين مجموعة من الأزواج المرتبة التي عناصرها الأولى تنتمي للمجموعة س , وعناصرها الثانية تنتمي إلى المجموعة ص .
مجموعة الأزواج المرتبة : ع = { (1 , 3) , ( 2 , 4 ) , ( 3 , 5) , ( 4 , 6 ) }
نقول :
المجموعة ع علاقة من المجموعة س إلى المجموعة ص
نُسمي المجموعة س مجال العلاقة ع نُسمي المجموعة ص مدى العلاقة ع
وفي كل زوج مرتب ينتمي إلى هذه العلاقة : نُسمي العنصر الثاني صورة للعنصر الأول في ذلك الزوج.
( 2 , 4 ) العنصر الثاني ( 4) صورة للعنصر الأول (2) .
(4 , 6) العنصر الثاني (6) صورة للعنصر الاول (4) .... وهكذا .
تمثيل العلاقة بالمخطط السهمي :
يمكن تمثيل العلاقات بمجموعة من الأزواج المرتبة أو بمخطط سهمي .
لندرس مجموعة الأزواج التالية ع = { (1 , 3) , (2 , 6) , (3 , 9) } .
إن هذه المجموعة هي مجموعة أزواج مرتبة ( س , ص ) تنتمي إلى العلاقة ع , حيث ص = 3س
ويمكن كتابة هذه المجموعة رياضياً على الصورة ع = { (س , ص ) : ص = 3س } ونمثلها بالمخطط السهمي التالي :
في المجموعة ع = { (1 , 3) , (2 , 6) , (3 , 9) }
نُسمي مجموعة كل العناصر الأولى للأزواج المرتبة في العلاقة ع مجال تلك العلاقة .
مجموعة مجال العلاقة ع هي المجموعة س = { 1 , 2 , 3 }
ونُسمي مجموعة كل العناصر الثانية للأزواج المرتبة في العلاقة ع مدى تلك العلاقة .
مجموعة مدى العلاقة ع هي المجموعة ص = { 3 , 6 , 9}
نُسمي العنصر الثاني في كل زوج مرتب ينتمي إلى العلاقة ع صورة للعنصر الأول في ذلك الزوج . فمثلاً في الزوج المرتب ( 2 , 6 ) يكون العنصر 6 صورة للعنصر 2 .
تمثيل العلاقة بالمخطط السهمي :
عرفت أن العلاقة هي خاصية تربط بين شيئين . ونقول أيضاً العلاقة هي خاصية تربط بين عنصر من مجموعة ما وعنصر من مجموعة ثانية .
مثال 1 :
في هذا المخطط السهمي نسمي المجموعة س المجموعة الأولى أو المجموعة الأساس . ونُسمى المجموعة ص المجموعة الثانية أو المجموعة الصورة .
نستطيع تكوين مجموعة من الأزواج المرتبة التي عنصرها الأول أحد العناصر المنتمية إلى المجموعة س , وعنصرها الثاني أحد العناصر المنتمية إلى المجموعة ص .
مثل :
( سعيد , عمان ) , ( عادل , دمشق ) , ... وهكذا
نُسمي مجموعة الأزواج التي نتجت من ربط عناصر المجموعة س بعناصر المجموعة ص :
علاقة من المجموعة س إلى المجموعة ص ونرمز لها بالرمز ع .
ع = { ( سعيد , عمان ) , ( خليل , دبي ) , ( ماجد , دبي ) , ( عادل , دمشق )}
تمثيل العلاقة بيانياً :
مثال 1 :
يمكن تمثيل العلاقات بمجموعة من الأزواج المرتبة أو بمخطط سهمي أو بالتمثيل البياني .
لتكن س = { 1 , ـ3 , ـ2 , 2 }
ص = { 2 , 4 , ـ1 , ـ4 }
أ) نستطيع تكوين مجموعة من الأزواج المرتبة التي عناصرها الأولى تنتمي للمجموعة س , وعناصرها الثانية تنتمي إلى المجموعة ص وذلك على النحو التالي :
مجموعة الأزواج المرتبة : ع = { (1 , 2) , ( ـ3 , 4 ) , ( ـ2 , ـ1) , ( 2 , ـ4 ) }
ب) ويمكننا تمثيل مجموعة العلاقة ع بمخطط سهمي كما يلي :
ج) كما يمكننا تمثيل العلاقة ع أنواع العلاقات :
1. المخطط السهمي التالي يبين العلاقة بين مجموعةمن الطلبة والمشروبات التي تناولوها في يوم معين
السابقة بيانياً كما هو موضح في الشكل التالي :
إذا درسنا هذا المخطط السهمي نلاحظ وجود علاقة ارتباط بين المجموعتين :
أكثر من طالب ـ نوع واحد من المشروبات
طالب واحد ـ أكثر من نوع من المشروبات
تعريف : أي مجموعة من الأزواج المرتبة تسمى علاقة
3. وإذا افترضنا أنه يتوفر كوباً واحداً من كل نوع من أنواع المشروبات , هنا يمكننا تمثيل العلاقة بين مجموعة الطلبة ومجموعة المشروبات على النحو المبين في المخطط " أ " أو المخطط "ب".
إذا درسنا هذا المخطط السهمي نلاحظ وجود علاقة ارتباط بين المجموعتين :
طالب واحد ـ نوع واحد من المشروبات
وهذه العلاقة هي الأبسط , فكما رأينا , كل طالب يأخذ مشروب واحد فقط ولا يستطيع أي طالب أن يأخذ مشروب سبق وأخذه زميله .
تعريف : أي مجموعة من الأزواج المرتبة تسمى علاقة
إذا اعتبرنا السهم ممثلاً لعبارة " والد " فإننا نقول :
سعيد والد ليلى سعيد ليلى
عمر والد خليل عمر خليل
يمثل السهم هنا العلاقة بين كل زوج من العناصر وهي علاقة ثنائية باتجاه واحد فقط . فمن الواضح أن " خليل " ليس والد " عمر " !
العلاقة :
خاصية تربط بين شيئين , ورياضياً فإن العلاقة هي أي مجموعة من الأزواج المرتبة .
يمكنك استخدام المخطط السهمي لتمثيل العلاقات كما في الأشكال التالية :
المخطط الأول :
نشاهد علاقة ارتباط واحد لواحد. وتربط الأسهم هنا نفس الزوج من الاسماء , ولكن باتجاهين مختلفين .
نقول عن العلاقة الثانية " سعيد زوج منى " أنها علاقة ارتباط عكسي للعلاقة الأولى " منى زوجة سعيد
المخطط الثاني :
ارتبط عنصر واحد من مجموعة الأساس بأكثر من عنصر من عناصر مجموعة الصورة .
نسمي هذه العلاقة , علاقة ارتباط واحد ـ متعدد الحدود أو نقول
علاقة ارتباط واحد ـ كثير الحدود .
المخطط الثالث :
نجد ان أكثر من عنصر من عناصر المجموعة الأساسية ارتبط بعنصر واحد من عناصر المجموعة الصورة .
نسمي هذه العلاقة : علاقة ارتباط متعدد الحدود ـ واحد أو نقول
علاقة ارتباط كثير الحدود ـ واحد
المخطط الرابع :
يذهب السهم في الاتجاهين وهو يمثل علاقة واحد لواحد.
يمكنك استخدام المخطط السهمي لتمثيل العلاقات كما في الأشكال التالية :
المخطط الأول :
نشاهد علاقة ارتباط واحد لواحد. وتربط الأسهم هنا نفس الزوج من الاسماء , ولكن باتجاهين مختلفين .
نقول عن العلاقة الثانية " سعيد زوج منى " أنها علاقة ارتباط عكسي للعلاقة الأولى " منى زوجة سعيد " .
المخطط الثاني :
ارتبط عنصر واحد من مجموعة الأساس بأكثر من عنصر من عناصر مجموعة الصورة .
نسمي هذه العلاقة , علاقة ارتباط واحد ـ متعدد الحدود أو نقول
علاقة ارتباط واحد ـ كثير الحدود .
المخطط الثالث :
نجد ان أكثر من عنصر من عناصر المجموعة الأساسية ارتبط بعنصر واحد من عناصر المجموعة الصورة .
نسمي هذه العلاقة : علاقة ارتباط متعدد الحدود ـ واحد أو نقول
علاقة ارتباط كثير الحدود ـ واحد .
المخطط الرابع :
يذهب السهم في الاتجاهين وهو يمثل علاقة واحد لواحد.
الاقترانات Functions
تعريف :
الإقتران هو العلاقة التي لا يوجد فيها زوجان مرتبان لهما نفس العنصر الأول .
كل علاقة من العلاقات التالية تُسمى اقتراناً
ع1 : { (1 , 2 ) , ( 5 , 3 ) , ( 2 , 4 ) }
ع2 : { ( أ , 1) , ( ب , 2 ) , ( جـ , 3) , ( د , 4 )}
تعريف :
الاقتران هو علاقة تربُط كل عنصر في المجال بعنصر واحد فقط في المدى .
نُسمي كل علاقة من العلاقات التالية اقتراناً.
ق1= { ( ـ 1 , 2) , ( 1 , 3) , ( 2 , 4) , ( 0 , 5) }
ق2 = { (أ , 0 ) , ( ب , 1) , ( جـ , 2) , ( د , 4 )}
الاقتران هو حالة خاصة من العلاقة
ع1 = { ( أ , 2) , ( ب , 4) , ( جـ , 6) }
نُسمي العلاقة ع اقتراناً لانه لا يوجد فيها زوجان مرتبان لهما نفس العنصر .
نُسمي العلاقة ع اقتراناً لأن كل عنصر في المجال (س) ارتبط بعنصر واحد فقط في المدى .
لاحظ أن العلاقة هنا هي علاقة ارتباط واحد لواحد
ع2 = { ( م , 1) , ( و , 2) , ( و , 3) , (ن , 3)}
العلاقة ع2 هنا ليست اقتراناً . لماذا ؟
لأن العنصر " و " في المجال قد ارتبط بعنصرين مختلفين في المدى وهما 2 , 3 .
ونقول :
العلاقة ع2 ليست اقتراناً , لأنه يوجد فيها زوجان مرتبان لهما نفس العنصر الاول وهما
( و , 2) , ( و , 3).
لاحظ أن في العلاقة هنا , علاقة ارتباط واحد ـ كثير الحدود
ع3 = { ( هـ , 2) , ( د , 2 ) , ( و , 3 ) }
العلاقة ع3 اقتران . لماذا ؟؟؟
لأنه لا يوجد فيها زوجان مرتبان لهما نفس العنصر الأول وكذلك .
لأنّ كل عنصر في المجال ارتبط بعنصر واحد فقط في المدى .
لاحظ أن في العلاقة هنا : علاقة ارتباط متعدد ـ واحد .
واحد ـ واحد .
ماذا نستنتج !!
الاقتران هو حالة خاصة من العلاقة , وبالتالي فإن كل الاقترانات هي علاقات , ولكن ليس كل علاقة هي اقتران .
العلاقة التي لا يوجد فيها زوجان مرتبان لهما نفس العنصر الأول هي علاقة اقتران .
العلاقة واحد لواحد تُسمى اقتراناً .
العلاقة متعدد إلى واحد تُسمى اقتراناً .
العلاقة واحد إلى متعدد ليست اقتراناً .
الإقتران هو علاقة يرتبط كل عنصر في مجالها بعنصر واحد فقط في مداها
يتحدد الاقتران بقاعدة تُكتب على الصورة ص = ق(س) وفي هذه الحالة نقول إنّ ص اقتران في س .
ص = ق(س)
تمثيل الإقتران :
الإقتران هو حالة خاصة من العلاقة . ويمكننا تمثيل الاقتران بالطرق التي درستها لتمثيل العلاقة .
التمثيل بالأزواج المرتبة مثل :
س = { 1 , ـ3 , ـ2 , 2 }
ص = { 2 , 4 , ـ1 , ـ4 }
ع = { (1 , 2) , ( ـ3 , 4 ) , ( ـ2 , ـ1) , ( 2 , ـ4 ) }
التمثيل بالجداول :
ليكن ق اقتراناً مجاله { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } حيثُ ق(س) = 2س + 1
يُمكننا تمثيل هذا الاقتران في جدول يوضح عناصر مجال الاقتران س وعناصر المدى ص في هذا الاقتران .
ص = ق(س) = 2س + 1
5 4 3 2 1 س
11 9 7 5 3 ص
ويُمكننا تمثيل الاقتران بجدول آخر كما يلي :
ص = ق(س) = 2س+ 1
(س , ص) ص س
( 1 , 3) 3 1
(2 , 5) 5 2
(3 , 7) 7 3
(4 , 9) 9 4
(5 , 11) 11 5
